Connaissance d'ordre I

"Les connaissances d'ordre I sont les définitions et les axiomes, les 'contenus' des énoncés mathématiques vrais, c'est-à-dire la description d'un état des choses dans la réalité mathématique. Les énoncés équivalent ont pour contenu les mêmes connaissances d'ordre I." (Sackur, Assude, Maurel, Drouhard et Paquelier 2005 p.67)

Connaissance d'ordre II

"Les connaissances d'ordre II sont les règles du jeu mathématique : elles sont ce qui fait que les parties du discours mathématique fonctionne comme elles sont sensées fonctionner. [...] Nous proposons, dans l'état actuel de notre travail, de considérer trois types de connaissances du second ordre : celles concernant la sémiosis (au sens de Duval, 1995), celles concernant la validité (au sens large) des énoncés, et celles liées à la logique mathématique [...]" (Sackur, Assude, Maurel, Drouhard et Paquelier 2005 p.67)

Duval R. (1995) Sémiosis et pensée humaine. Berne : Peter Lang [résumé]

Connaissance d'ordre III

"Le fait que les connaissances soient socialement construites suppose une forme minimale d'accord sur ce qui fait qu'elles sont mathématiques ou non. 'l'activité mathématique consiste à jouer avec des connaissances d'ordre I selon les règles du jeu d'ordre II' est un exemple typique de connaissance d'ordre III." (Sackur, Assude, Maurel, Drouhard et Paquelier 2005 p.71)

Effet Rain Man

"Un bon exemple de connaissance d'ordre III, dans un autre domaine que les mathématiques, est donné dans le film 'Rain Man' [Barry Levinson 1988] . Dans ce film, le héro autiste reçoit une leçon de danse d'une personne qui termine en disant 'la danse, c'est ça'. Nous proposons d'appeler cela l'effet Rain Man. Comme dans l'effet Jourdain, le maître intervient explicitement pour nommer une nouvelle connaissance. Dans l'effet Jourdain (Brousseau 1998), le maître nomme une connaissance d'ordre I, dans une situation qui ne permet pas aux élèves de donner à cette connaissance le sens visé, parce que le milieu n'est pas le bon. Ici au contraire, le maître qualifie l'activité de l'élève ('vous venez de faire des mathématiques') en faisant apparaitre une connaissance d'ordre III. Ceci n'est possible que parce que les élèves ont acquis par l'expérience des connaissances d'ordre II qui ont ensuite été institutionnalisées." (Sackur, Assude, Maurel, Drouhard et Paquelier 2005 p.72)

Nécessité épistémique

"Nous nous intéressons maintenant à ce qui conduit à dire :'voilà un résultat (un théorème par exemple), voilà ce qu'il dit et il ne peut en être autrement'. C'est cette nécessité que nous avons appelée nécessité épistémique. [...] C'est la qualité qui fait 'qu'il ne peut en être autrement et que cela ne dépend ni de moi ni de tel ou tel, mais qu'il est en mon pouvoir intellectuel (théoriquement) de m'en assurer'. [...] Ce type d'énoncé porte sur des objets mathématiques et sur des relations entre les objets, et exprime aussi quelque chose d'autre, à savoir sa qualité d'être nécessaire." (Sackur, Assude, Maurel, Drouhard et Paquelier 2004 p.65)