Conception

(1) "On voit à travers ces quelques textes, en dépit de l'absence de définition explicite, fonctionner, si l'on peut dire, une conception similaire à la notion de conception : la conception est un objet local, étroitement associé au savoir en jeu et aux différents problèmes dans la résolution desquels il intervient ; elle va constituer un outil, aussi bien pour l'analyse de ce savoir et l'élaboration de situations didactiques que pour l'analyse stricte du comportement de l'élève. Même si les conceptions font l'objet d'une définition autonome, ce qui intéresse le didacticien, visiblement, ce n'est pas de dresser un catalogue fin des conceptions possibles, mais d'étudier l'articulation conceptions-situations dans un apprentissage donné." (Artigue 1991 p.270)

(2) "[...] nous dirons que les conceptions se situent à l'intérieur d'un processus continu d'organisation des nouvelles connaissances de sorte qu'elles soient cohérentes avec les constructions antérieures. Cette construction (la conception), vue comme une tentative de donner du sens à une nouvelle expérience, acquiert un aspect dynamique. En plus, elle peut être floue et plus ou moins stable, c'est à dire elle n'est pas obligatoirement stable, explicite et assez justifiée, comme c'est le cas pour le raisonnement spontané ou le modèle intuitif." (Rouan et Palascio 1994 p.396)

(3) "Une conception est modélisation élaborée par le chercheur. Elle vise à rendre compte de la cohérence perceptible dans les comportements observables d'un élève confronté à un groupe de tâches mettant en jeu le même concept mathématique : tout se passe comme si pour toute les activités concernées, le sujet utilisait cette conception de l'objet en question." (Castella 1995 p.9)

(4) "[Une] conception est [...] l'état d'équilibre d'une boucle action/rétroaction du système [sujet<>milieu] sous des contraintes proscriptives de viabilité [...] Nous appelons problèmes les perturbations du système. Le domaine de validité de la conception, ou sphère de pratique, est constitué de l'ensemble des problèmes que la conception permet de résoudre et qui ne conduisent pas à une rupture de l'équilibre [sujet<>milieu]. Nous appelons opérateur ce qui permet la transformation des problèmes ; ces opérateurs sont attestés par des productions et des comportements. Un système de représentation (langagier ou non) permet l'expression des problèmes et des opérateurs. Enfin, une structure de contrôle assure la non contradiction de la conception et contient au moins sous la forme d'oracles les outils de décision sur la légitimité de l'emploi d'un opérateur ou sur l'état (résolu ou non) d'un problème. Une "conception" est caractérisée par un quadruplet composé de :

- P : un ensemble de problèmes
- R : un ensemble d'opérateurs
- L : un système de représentation
- Σ : une structure de contrôle"

(Balacheff et Margolinas 2005 p.80)

• English : Conception

"[...] the word "concept" (sometimes replaced by "notion") will be mentioned whenever a mathematical idea is concerned in its "official" form - as a theoretical construct within "the formal universe of ideal knowledge"; the whole cluster of internal representations and associations evoked by the concept - the concept's counterpart in the internal, subjective "universe of human knowing" - will be referred to as a "conception".
[...] the careful analysis of textbook definitions will show that treating mathematical notions as if they referred to some abstract objects is often not the only possibility. Although this kind of conception, which from now on will be called structural, seems to prevail in the modem mathematics, there are accepted mathematical definitions which reveal quite a different approach. [...] [which] description speaks about processes, algorithms and actions rather than about objects. We shall say therefore, that it reflects an operational conception of a notion. [...] Thus, whereas the structural conception is static (or shall I say, after Frege, 1970, "timeless"), instantaneous and integrative, the operational is dynamic, sequential, and detailed."
(Sfard 1991 pp.3-4) 

Caveat: this definition is given together with examples, the reader must go back to the original publication to check the context. The reference to Frege is: Frege, G.: 1970, 'What is function', in Geach, P. and Black, M. (eds.), Translationfsr om the Philosophical Writings of Gottlob Frege, Blackwell, Oxford.

Coutume

"Nous entendons par coutume un ensemble de pratiques obligatoires (Carbonnier 1971), de façons d'agir, établies par l'usage ; le plus souvent implicitement. La coutume règle la façon dont le groupe social entend que soient établis les rapports sociaux.  Elle se caractérise d'abord comme étant le produit de pratiques sociales. [...] En tant que produit de pratiques, la coutume d'une classe de mathématiques est spécifique du savoir enseigné dans cette classe." (Balacheff  1988 pp.21-22)

Carbonnier J. (1971) Flexible droit : textes pour une sociologie du droit sans rigueur. Paris : Pichon et Durand-Azias

• English : Custom

"Custom is understood as a set of obligatory practices (Carbonnier 1971) established as such by their use, and which, in the majority of cases, is established implicitly. Custom regulates the way in which the social group expects to establisg relationships and interactions among its members and , therefore , ti si initially catheterized as a product of social practices. [...] Insofar as it is produced in and by practice, the custom a mathematics call is specific to the knowledge taught in that class." (Balacheff 1998 pp.25-26 translation P. Herbst) 

Empirisme naïf

"L'empirisme naïf est dans [la hiérarchie de preuves] le premier type de preuve que nous rencontrons. I1 consiste à tirer de l'observation d'un petit nombre de cas la certitude de la vérité d'une assertion [...]" (Balacheff 1987 p.163)

Exemple générique

"L'exemple générique consiste en l'explicitation des raisons de la validité d'une assertion par la réalisation d'opérations ou de transformations sur un objet présent non pour lui-même, mais en tant que représentant caractéristique d'une classe d'individus. La formulation dégage les propriétés caractéristiques et les structures d'une famille en restant attachée au nom propre et l'exhibition de l'un de ses représentants." (Balacheff 1987 pp.164-165)

Expérience cruciale

"L'expérience cruciale est un procédé de validation d'une assertion dans lequel l'individu pose explicitement le problème de la généralisation et le résoud en pariant sur la réalisation d'un cas qu'il reconnaisse pour aussi peu
particulier que possible. [...] Ainsi l'expérience cruciale consiste à provoquer un événement sur lequel 'on ne se fait pas de cadeau' en affirmant que 'si cela marche, alors cela marchera toujours'. Cette démarche qui reste fondamentalement empirique se distingue de l'empirisme naïf en ce que le problème de la généralisation est effectivement posé et que l'élève se donne un moyen de décider autrement que péremptoirement." (Balacheff 1987 pp.163-164)

Expérience mentale

"L'expérience mentale invoque l'action en l'intériorisant et en la détachant de sa réalisation sur un représentant particulier. Elle reste marquée par la temporalité anecdotique, mais les opérations et les relations fondatrices de
la preuve sont désignées autrement que par le résultat de leur mise en œuvre; ce qui était le cas pour l'exemple générique." (Balacheff 1987 pp.165-166)

Preuve

"Nous appelons explication un discours visant à rendre intelligible le caractère de vérité, acquis pour le locuteur, d'une proposition ou d'un résultat. Les raisons avancées peuvent être discutées, refusées ou acceptées.
Nous appelons preuve une explication acceptée par une communauté donnée à un moment donné. Cette décision peut être l'objet d'un débat dont la signification est l'exigence de déterminer un système de validation commun aux interlocuteurs.
Au sein de la communauté mathématique ne peuvent être acceptées pour preuve que des explications adoptant une forme particulière. Elles sont une suite d'énoncés organisée suivant des règles déterminées : un énoncé est connu comme étant vrai, ou bien est déduit de ceux qui le précèdent l'aide d'une règle de déduction prise dans un ensemble de règles bien défini. Nous appelons démonstrations ces preuves.
Nous réservons le mot raisonnement pour désigner l'activité intellectuelle, la plupart du temps non explicite, de manipulation d'informations pour, à partir de données, produire de nouvelles informations." (Balacheff 1987 pp.147-148)

Preuve pragmatique

"La mise à exécution d'une décision, ou la réalisation du contenu d'une affirmation, permet ce que nous appellerons des validations pragmatiques de la décision, ou des preuves pragmatiques lorsqu'elles sont effectuées par l'élève lui-même pour établir la validité d'une proposition. Lorsque cet accès à la réalisation n'est pas possible alors les validations sont nécessairement intellectuelles. La production de ces preuves intellectuelles requiert notamment l'expression langagière des objets sur lesquelles elles portent et de leurs relations.
La nature même de la dialectique associée à ces deux types de preuves est fondamentalement diff6rente. En particulier la contradiction apportée par les faits n'a pas le même statut que celle apportée par le discours, même si celui-ci consiste à invoquer les faits. Quant aux preuves elles-mêmes, elles n'établissent pas de la même façon les propositions qu'elles soutiennent :

- la preuve pragmatique est hypothéquée par la singularité de l'événement qui la constitue, il faut en accepter le caractère générique. Elle est de plus, tributaire d'un contingent matériel: outils imprécis, défaut de fonctionnement;
- la preuve intellectuelle mobilise une signification contre une autre, une pertinence contre une autre, une rationalité contre une autre."

(Balacheff 1987 p.157)

Situation de décision

"... une situation de décision [...] demande la mobilisation de moyens de décision et donc de moyens de validation, sans que pour autant soit exigée la production explicite de preuves. C'est une proposition vraie et non la preuve de cette proposition qui doit être produite. Dans la situation de décision, les opérations intellectuelles du raisonnement hypothético-déductif (en tant que système légitime et fiable de production d'informations) peuvent être mises en œuvre sans que pour autant une preuve soit produite. Les contrôles logiques et sémantiques fonctionnent localement dans le cours de l'élaboration de la solution. Éventuellement, en tant que mathématiciens, nous reconnaîtrons dans ce processus une organisation qui est de l'ordre de la démonstration; mais ici elle est dans le
fonctionnement du sujet un outil et non un objet." (Balacheff 1987 p.153)

Transposition informatique

« Aux contraintes de la transposition didactique s’ajoutent, ou plutôt se combinent, celles de modélisation et d’implémentation informatiques : contraintes de la modélisation computable, contraintes logicielles et matérielles des supports informatiques de réalisation. Ce que l’on place habituellement sous le terme d’informatisation ne constitue pas une simple translittération, les environnements informatiques d’apprentissage résultent d’une construction qui est le lieu de transformation nouvelle des objets d’enseignement. Nous appelons transposition informatique le processus ainsi à l’œuvre. » (Balacheff 1994 p.365)