Cadre

"Disons qu'un cadre est constitué des objets d'une branche des mathématiques, des relations entre les objets, de leurs formulations éventuellement diverses et des images mentales associées à ces objets et ces relations. Ces images jouent un rôle essentiel dans le fonctionnement comme outil, des objets du cadre. Deux cadres peuvent comporter les mêmes objets et différer par les images mentales et la problématique développée. [...] Nous concevons la notion de cadre comme une notion dynamique." (Douady 1986 p.11)

• English : Setting

"The notion of setting has at least 3 dimensions: mathematical dimension, a socio-cultural one and an individual one. In its mathematical dimension, a setting is constituted by objects in a given mathematical domain with various levels of complexity, by relations between these objects and by their various formulations. [...] Many other objects are to be included in such a setting, but it would not be possible to make an exhaustive list because this list has a cultural character. That is where the socio-cultural dimension comes in the picture. Persons with the same culture or the same background, embedded in the same environment, facing the same problem, will usually mobilize the same objects, or at least in the same categories [...] The individual dimension is involved insofar as the constitution of a culture is not only the fruit of a social education [...] individuals sharing a wide common field of reference, build for themselves representations and personal mental images and life experiences, including cognitive experiences." (Douady 1991 p.117)
 

Changement de cadres

"Le changement de cadres est un moyen d'obtenir des formulations d'un problème qui sans être nécessairement tout à fait équivalentes, permettent un nouvel accès aux difficultés rencontrées et la mise en œuvre d'outils techniques qui ne s'imposaient pas dans la première formulation." (Douady 1986 p.11)

• English : Changing of settings
 
"The changing of settings is a means to obtain different formulations of a problem. It can be a source of imbalance. That is the case if the formulations are not exactly equivalent, but partly corresponding and if the habits and the knowing of the researcher in each setting provoke an imbalance between his expectations and his observations or mathematical results." (Douady 1991 p.116)

Dialectique outil-objet

"Étant donné un problème, convenablement choisi, que les élèves ont en charge de résoudre, nous appelerons dialectique outil-objet le processus suivant dans lequel nous distinguons plusieurs phases qui remplissent des fonctions différentes :"
[...] (Douady 1986 p. 14 sqq [pdf primitif])

- D.O.O phase a - Ancien : "Des concepts mathématiques sont mis en oeuvre comme outils explicites pour résoudre au moins partiellement le problème." (ibid. p.14)
- D.O.O phase b - Recherche nouveau implicite :  "Les élèves rencontrent des difficultés pour résoudre complètement le problème. [...] Ces nouvelles questions conduisent les élèves à chercher des moyens nouveaux adaptés. [...] Schématiquement nous parlerons dans cette étape de 'nouveau implicite'." (ibid. pp.14-15)
- D.O.O. phase c - Explicitation et institutionnalisation locale : "Certains éléments ont joué un rôle important dans la phase précédente et peuvent être appropriés maintenant par les élèves. Ils sont formulés soit en termes d'objet, soit en termes de pratique avec leurs conditions d'emploi du moment. Il peut s'agir aussi de convictions ayant fait l'objet de débat et donnant lieu à formulation argumenté [...] Il s'agit là de 'nouveau explicite' susceptible de réemploi et familiarisation" (ibid. pp17-18)
- D.O.O. phase d 'institutionnalisation - statut d'objet : "L'enseignant expose ce qui est nouveau et à retenir avec les conventions en usage. [...] Ainsi, l'enseignant a la charge de donner un statut d'objet aux concepts utilisés dans leur aspect outil. Ce nouveau à retenir est destiné à fonctionner ultérieurement en tant qu'ancien, mais le moment n'est pas encore venu." (ibid. p.19)
- D.O.O. phase e - Familiarisation - réinvestissement : "L'enseignant demande aux élèves de résoudre des exercices variés qui nécessitent les notions récemment  institutionnalisées. Chemin faisant, les élèves développent des habitudes et savoir-faire, ils intègrent le savoir social en le confrontant à leur savoir particulier." (ibid. p.19)
- D.O.O. phase f = a - Complexification de la tâche ou nouveau problème : "L'enseignant propose aux élèves de résoudre un problème plus complexe. [...] Dès lors, l'objet étudié est susceptible de prendre place comme 'ancien' pour un nouveau cycle de la dialectique outil-objet." (ibid. p.20) 

• English : Tool-object dialectic

"We call Tool-Object Dialectic the following process, where we can distinguish six phases: A problem is given to the pupils, which has a meaning for them. With their knowledge, they can begin to tackle it, but they cannot solve it complete. The concepts which the learning process is aimed at are the tools suitable for the questions." (Douady 1985 p.35 sqq)

 - T.O.D. Phase a: 'The Explicit Old...' - "Mathematical concepts are implemented as explicit tools to begin to solve the problem." (ibid. p.36)
- T.O.D. Phase b: Research 'The Implicit New' - "Difficulties are met in solving the problem completely either because the primitive strategy is too laborious (many operations, possibly errors...) or it no longer works. Pupils must look for other means better adapted to the situation." (ibid. p.36)
- T.O.D. Phase c: Making Explicit and Locally Institutionalized. - Some elements have had an important role in the previous phase and can be appropriate now by the pupils. They formulate these elements in terms of practice with their local use, or the teacher formulates them in terms of objects. We call these 'new explicit tools' with which the pupils may become familiar." (ibid. pp.37-38)
- T.O.D. Phase d: Institutionalization -- Status of Object - "The teacher presents what it is new and is to be retained, with the usual conventions. He 'gives the course' presenting well organized definitions, theorems with proofs if necessary, emphasizing what is important in contrast with what is secondary. [...] Thus the teacher gives a status of object to the concepts used previously as tools." (ibid. pp.38-39)
- T.O.D. Phase e: Becoming Accustomed -- Applying - "The teacher asks the pupils to solve various problems or exercises which acquaint them with explicit tools recently institutionalized. IN doing so they may develop good habits and integrate common social knowledge with their own particular knowledge." (ibid. p.39)
- T.O.D. Phase f: Sophistication of the Task or New Problem - "New knowledge is used in a more complex situation involving other concepts which may be known (but separately learned) or may need to be learned." (ibid. p.39)

 

Fenêtre conceptuelle

"Étant donné un problème ou plus largement une situation posant problème, nous appelons fenêtre conceptuelle l'ensemble des objets, des outils et des relations mobilisés par quelqu'un, à un moment donné, pour analyser l'énoncé du problème ou de la situation, ou développer une stratégie de résolution, quels que soient les cadres dont ils relèvent. Les questions soulevées au cours de l'étude et les traitements apportés peuvent amener le chercheur (maitre ou élève) à déplacer son intérêt sur d'autres relations, d'autres questions et faire évoluer la fenêtre. À chaque étape du questionnement et de l'étude, plusieurs cadres entrent en relation, mais pour chacun d'eux seulement une partie est concernée et cette partie évolue et change au cours du travail. Cette évolution reflète celle du rapport du chercheur au problème et aux stratégies de résolution." (Douady 1992 p.138 [pdf])

• English : Conceptual window

"We call conceptual window the set of objects and relations mobilized in a given problem, whatever the settings are from which they come. The questions arising during the study and the ways of dealing with them may lead to moving the window so as to focus it on tools which appear to be pertinent. So, the notions of setting and window are complementary."(Douady 1991 p.118)

Jeu de cadres

"Les jeux de cadre sont des changements de cadres provoqués par l'enseignant [...] pour faire avancer les phases de recherche et notamment pour élaborer une filiation de questions pertinentes par rapport au problème posé, lequel prend place dans une certaine situation d'apprentissage. Il s'agit du déroulement d'une procédure dans laquelle on peut distinguer trois phases : (1) transfert et interprétation [...] (2) correspondances imparfaites [...] (3) amélioration des correspondances et progrès de la connaissance [...]" (Douady 1986 pp.21-23 [pdf primitif])

• English : Interplays between settings

"By interplays between settings we mean changes of settings brought about by the teacher, within suitable chosen problems. The aim is to speed up the phases of the research, ans specifically to induce a chain of relevant questions for the problem (which takes place in a definite situation). It is also to prepare the decontextualisation of the tools engaged in the problem. In this process three phases can be distinguished: (1) Transfer and interpretation [...] (2) Imperfect correspondences [...] Improvement of correspondences and progresses of knowledge [...]" (Douady 1991 p.122)
 

Objet

Au sens de la dialectique outil-objet (DOO)

(1) "Par objet, nous entendons l'objet culturel ayant sa place dans un édifice plus large qui est le savoir savant à un moment donné, retenu socialement." (Douady 1986 p.9 [pdf primitif])

Au sens de la Théorie anthropologique du didactique (TAD)

(2) "[...] dans l'univers que je considère, tout est objet. Les personnes X et les institutions I, ainsi que les autres entités que je serai amené à introduire, sont donc des objets d'un type particulier. [...] on dira que l'objet O existe pour X (respectivement pour I) s'il existe un objet, que je note R(X,O) (resp. RI(O)), que j'appelle rapport personnel de X à O (resp. rapport institutionnel de I à O). En d'autres termes, l'objet O existe s'il existe pour au moins une personne X ou une institution I, c'est à dire si au moins une personne ou une institution a un rapport à cet objet." (Chevallard 1992 p.86)

"[...] un objet existe dès lors qu'existent des institutions et des personnes qui entretiennent des rapports à ces objets. La question de la 'nature' de l'objet renvoie ainsi au problème de la description des pratiques institutionnelles où l'objet est engagé, problème auquel il faut répondre en termes d'organisations praxéologiques. [...] Les concepts mathématiques peuvent ainsi être considérés comme des émergents de ces praxéologies, et les rapports institutionnels à ces objets comme façonnés par les complexes praxéologiques existant à un moment donné dans l'institution considérée." (Bosch et Chevallard 1999 p.88 [pdf])

• English : Object  

According to the tool-object dialectic

 "A concept is an object when it is considered in cultural dimension, as a piece of knowledge independent of any context, of any person, which has a place in the body of the socially recognized scientific knowledge. An object is mathematically defined. This can be by various means: properties, an effective construction, or by an existence theorem." (Douady 1991 p.116)

According to the anthropological approach of didactic

(2) "From the point of view of the 'semantics' of the theory, anything can be an object. An object exists as soon as a person X or an institution I recognises this object as existing (for it). More precisely, it can be said that the object O exists for X (respectively for I) if an object exists which I shall note R(X,O) (resp. R_I(O)), and which I shall call the personal relation of X to O (resp. institutional relation of I to O). In other words, the object O exists if it exists for at least one person X or one institution I, that is if at least one person or one institution relates to this object." (Chevallard 1992 p.142)

Outil

(1) "[...] nous disons qu'un concept est outil lorsque nous focalisons notre intérêt sur l'usage qui en est fait pour résoudre un problème. Un même outil peut être adapté à plusieurs problèmes, plusieurs outils peuvent être adaptés à un même problème" (Douady 1986 p.9 [pdf primitif])

Termes associés : objet, dialectique outil-objet

(2) "[...] le mot outil désignera un objet technique intégré, ou susceptible d'être intégré par un usager dans ses gestes (scolaires, professionnels ou quotidiens)" (Trouche 2005 p.93)

• English : Tool
 
According to the tool-object dialectic

(1) "We say that a concept is a tool when the interest is focused on its use for solving problems. A tool is involved in a specific context, by somebody, at a given time." (Douady 1991 p.115)